מתמטיקה ותפיסת עולם

הבהרה: כל הנכתב כאן הוא רק על דעת הכותב ובאחריותו.
רק דבר שיבשיל לכלל מחקר שיבוצע על ידי המכון, מסקנותיו יתפרסמו בשם המכון.

מתמטיקה ותפיסת עולם

בס"ד

מתמטיקה ותפיסת עולם: האם יש קשר ביניהן? האם ניתן לתאר ולבחון תפיסת עולם במערכת מתמטית? האם תפיסת העולם יכולה להשפיע על פעילותה של מערכת מתמטית? וכמה זה קרוב לשילוב האמנות במתמטיקה?

זה הכיוון של המחקר שאני עוסק בו כשנתיים.

חלק נכבד מהתקדמותו של המחקר נזקף לזכותו של חברנו משה קליין, אשר דוחף באופן עקבי לחקור את הקשר בין מתמטיקה לתודעה.

מהי תפיסת העולם שמדובר בה? מדובר גם בתפיסות עולם כלליות, וגם בפרטיות.

תפיסת עולם כללית: כאן עומדת תפיסת העולם הגשמית, אשר נגזרת מן הטבע של החומר והמקום, והיא תפיסת עולם מפרידה. וכנגדה תפיסת עולם רוחנית מחברת ומאחדת. לתפיסות העולם האלה יש השלכות בתחומים שונים.

כאשר דבר גשמי נמצא במקום מסוים, הוא תופס את המקום ומונע מדבר גשמי אחר להיות באותו מקום. אם שני חפצים או אנשים ירצו להיות במקום אחד, נוצר ניגוד אינטרסים ביניהם. וכן הוא כאשר שני אנשים מעוניינים במשרה אחת, או שני עמים מעוניינים בחבל ארץ מסוים.

כמו כן, הדבר הגשמי בעצמו נמצא במקום מוגדר, ואינו יכול להימצא בו זמנית בשני מקומות. (ובמובן הזה מכניקת הקוונטים שברה את תפיסת המקום)

לעומת זאת הרוחניות יוצרת חיבור. האהבה לא מוגבלת במקום, היא מחברת "דברים" שנמצאים במקומות רחוקים.

כמו כן, במקום קטן יש אפשרות להכניס מספר חפצים קטן, אך בלב קטן יכולה להיות הרבה אהבה, אהבה להרבה אנשים. אם שני אנשים ינסו לזכות באהבתו של אדם מלא אהבה, (כגון רב האסירים הרב אריה לוין זצ"ל), לא יהיה ביניהם שום ניגוד אינטרסים. יש לו מספיק אהבה בשבילם ובשביל עוד אלפי אנשים.

וכן במוח קטן יכולה להיות הרבה חכמה, וידיעה של דברים רבים.

וכן הלאה.

כיצד מתבטאות תפיסות העולם האלה בחברה האנושית? כאשר חיים בתחושה של חיבור, החברה נעימה מאוד, לכל אחד אכפת מהשני. כאשר חיים באופן שכל אחד רוצה לשמור על מקומו ומעמדו ולא לתת למשהו או למישהו אחר להיכנס בתחומו, נוצרת תחושה של ניכור, אשר היא אחד המאפיינים של החברה המודרנית. וזה חוץ מן הבעיות הגדולות: מלחמות ומאבקי כוח שגרמו להרג של מיליוני מיליוני אנשים בכל הדורות.

לאחרונה למדתי בקורס בודקי תוכנה, וגיליתי שגם שם יש שתי גישות לפיתוח תוכנה. הגישה הקלאסית מזכירה את תפיסת העולם הגשמית, ובה כל בעל תפקיד מנסה לשמור על מעמדו ונוחיותו. בגישה החדשנית יותר יש תפיסה אחדותית, ובה כל הצוות אחראי ביחד לאיכותה של התוכנה, ולפעמים בעלי תפקיד מסוים נרתמים לעזור בתחום אחר. האווירה שם טובה יותר, וכפי שהתברר גם התוצאות הכלכליות טובות יותר.

תפיסת עולם פרטית: מדובר בטבעי הנפש של אנשים, אשר מהם נגזרת ההסתכלות שלהם בעולם, וכפי שאדגים בהמשך בעזרת השם.

כיצד הדברים מתבטאים במחקר המתמטי?

הנושא הוא בניית פונקציות (או התאמות) על ציר מספרים בדיד, אשר נדרשות לקיים משוואה דיפרנציאלית מסוימת. בדרך כלל מדובר בצירים אשר בהם המרחקים בין הנקודות קטנים מאוד, אך סופיים (לא אינפיניטסימלי).

איך מגדירים ציר מספרים בדיד? יש אינספור אפשרויות לצירים כאלה. למשל ניתן לקבוע שבין אפס לאחד (וכן בין כל שני מספרים שלמים עוקבים) יהיו מאה מספרים, וניתן לקבוע שיהיו אלף. ניתן לקבוע את המספרים במרחקים שווים וניתן לקבוע מבנים שונים של מספרים. כל שינוי כזה קובע ציר אחר. כל שינוי כזה משפיע על ערכי הפונקציה הנוצרת. יותר מזה: גם כל שינוי בנקודה אחת בלבד משנה את כל ערכי הפונקציה מנקודה זו והלאה. כלומר כל מספר הוא בעצם מספר פעיל אשר קובע את ערכי הפונקציה.

במילים אחרות: כל מספר הוא "יצור" מתמטי, כי נוצר על ידי מי שהגדיר את ציר המספרים, והוא גם "יוצר", כי בעצם קיומו ומקומו על הציר הוא שותף ביצירת הפונקציה.

מה המשמעות של תפיסת העולם במערכת כזו?

נספר את סיפורו של ציר מספרים אחד, ואקווה בעזרת השם שהדברים יהיו מובנים.

מתי המתמטיקאי בנה ציר מספרים המורכב מקבוצות של מספרים. סביב המספר 0.1 יש עשרים וחמשה מספרים במרחקים שווים וקטנים מאוד (למשל 0.000001) ביניהם. וכן קיימת קבוצה כזו סביב המספר 0.2 וכן סביב 0.3 וכן הלאה.

איך מחשבים את הפונקציה?

מתי טוען: פשוט מאוד. כל מספר הוא מספר פעיל והחישוב פשוט.

כנגדו טען חוקר אחר, הנקרא חוקר א': מכיוון שיש כאן קבוצות, איננו יכולים להתייחס אל המספרים כמספרים בודדים, אלא להתייחס דווקא לתכונות של הקבוצה. כל מספר הוא איבר מן הקבוצה, ויש לו תכונות של הקבוצה.

חוקר ב' טען שיש לתת משקל מסוים לתכונות הפרטיות של כל מספר, ומשקל מסוים לתכונות של הקבוצה. כמה? למשל שליש לתכונות הפרטיות ושני שליש לתכונות הקבוצה.

שאלה: האם תסכים למשקל של 60% ו-40%?

חוקר ב': כן.

שאלה: אם כן לא ניתן לקבוע משהו מדויק.

חוקר ב': נכון. אבל ברגע שנחליט על יחס מסוים, מכאן והלאה אנחנו יודעים לחשב את הפונקציה. כמו כן ניתן להגדיר את היחס בין הכלל לפרטים כתכונה של הקבוצה. (אולי קצת מזכיר את מקדם האגו של רן ארהרד)

חוקר ג': בינתיים עסקתם בשאלה איך לחשב את הפונקציה בציר המספרים של מתי המתמטי, אבל לדעתי זה לא נכון להגדיר את הציר בצורה זו. הרי אנחנו יודעים שיש נטייה בטבע להתפלגות גאוסיינית של תופעות, ולכן כאשר מגדירים קבוצת מספרים אין להגדיר אותם במרחקים שווים אלא באופן שיתאים להתפלגות גאוסיינית.

חוקר ד': לדעתי התפלגות גאוסיינית היא אידיאליזציה של המציאות. המציאות האמיתית מורכבת מעליות וירידות ודברים לא אחידים. כאשר מגדירים קבוצה יש להתחשב בכך.

ואז הגיע יהודי בעל נשמה חסידית, ואמר שהוא למד בחסידות שצד ימין משמעותו חסד וצד שמאל הוא דין, לכן לטעמו יש לתת משקל רב לצד הימני של הקבוצה, כדי להגביר את החסד.

אחרון אחרון חביב הגיע אמן. כאשר הוא חושב על מספרים זה מעורר אצלו חוויות ילדות של הרים וגבעות ונהרות מארץ מולדתו, והוא היה רוצה להגדיר את קבוצות המספרים באופן שהם יהיו יצירה המשקפת את החוויה הפנימית שלו.

הבננו? מתמטיקה, תפיסת עולם, חסידות, אמנות וחוויות בכפיפה אחת. ולמען הבהירות: כל הצעה של חוקר או חסיד או אמן נותנת תוצאות אחרות בחישוב הפונקציה. אמנם ההבדלים קטנים מאוד, ברמת המיקרו, אבל בכל אופן הפונקציה המתקבלת היא פונקציה אחרת.

השאלה החשובה שיש לחקור ולברר: האם גם במערכת מתמטית שבנויה באופן אחדותי (לפי תפיסת העולם האחדותית כמו שביארנו) יתקבלו תוצאות יותר "טובות" כמו שמתקבלות בתחומים שונים בחיים. מה זה במתמטיקה תוצאות יותר טובות? מה זה פונקציה אחדותית?

האם במערכת שבנויה על פי רגשותיו של אמן תתקבל פונקציה אמנותית?

עוד דברים מעניינים במחקר זה: מספרים שמזכירים את תורת הקוונטים, נמצאים בו זמנית בכמה מקומות או בשום מקום.

דבר מעניין נוסף הוא הדמיון לנושאים פיזיקליים מסויימים: ההגדרה הכללית ביותר של ציר המספרים הבדיד היא של ציר באורך אינסופי, ובעל מאפיין שנקרא "רוחב" (ומצוייר כרוחב) בעל יחידה אחת. בניית הפונקציה בציר המספרים מזכירה מעבר של תופעה (כגון גל) בתוך תווך. בתווך הזה יכולים להימצא "חלקים" של מספר, שהם חלקיקים מתמטיים. יכול להיות גם מבנה שמזכיר מבנה גבישי. וכן יש כאן דואליות של דברים שניתנים למדידה ודברים שאינם ניתנים למדידה, וכאשר רוצים למדוד יש צורך כביכול "להכניס" מכשיר מדידה, או "לבקש" מהאיברים בתווך להתארגן מחדש באופן שמאפשר מדידה, ובכך משנים את ערך הפונקציה הנמדדת. כמו כן יש לדעתי דברים מקבילים למסה נסתרת.

נראה לי שאפשר להכניס לכאן עוד נושא: לוגיקה רכה. משה קליין שמע מאחד החוקרים שהמדען לייבניץ שאף לבנות מתמטיקה עם לוגיקה רכה. יתכן שגם זה כלול במערכת המתמטית הזו.

איפה המחקר עומד? כרגע המחקר עומד על חוקר אחד שאין לו הכשרה מתמטית מסודרת (זה אני). לכן לא הצלחתי עד היום לכתוב את הדברים באופן שיהיו מובנים למתמטיקאים או לאנשי מדע. כמו כן יש עוד הרבה עבודת מחקר בתחום זה.

אשמח לשמוע את תגובותיכם. אם יש מישהו שיכול לסייע במחקר, אשמח מאוד.

בברכה,

אברהם שנקר

 


תגובות

מתמטיקה ותפיסת עולם — 8 תגובות

  1. אברהם שלום,

    תודה על פוסט מעניין. אני מאמין שאתה בכיוון הנכון.

    כמתמטיקאי אתה רשאי להתעסק במונחים מופשטים ככל רצונך. הבעיה היא שאנו מנסים לעשות מהפכה ולהכניס את התודעה למדע. מהפכה כזו צריכה לשכנע את כל הספקנים, ואלו יש בשפע.

    פיסיקאים כמוני מנסים לקחת את המשוואות והמתמטיקה ולישם אותם למציאות, לעולם, ליקום, כלומר למצוא להם שימושים. רק כך נוכל לשכנע את המדענים החומרניים, שחושבים שיש רק חומר. למשל, גרביטציה מודעת, תורת הגביטציה החדשה שאני מפתח, מנסה להסביר את החומר האפל והאנרגיה האפלה בעזרת התודעה. למודל ההשתקפויות שרועי לוטן גלזר מפתח יש תחזיות לגבי תיקונים במשוואות הפיסיקה היסודיות.

    לפיכך, רצוי לנסות וליצור שימושים וישומים למודלים יפים כמו שלך. רק כך נוכל לשכנע ולהשפיע.

    בהצלחה!

    • שלום לך אלון!
      כבר כתבתי לך בעבר, שאמנם אתה עוסק רבות בנושא התודעה, אך אינך מעריך כלל את כוחה של התודעה. התודעה בעצמה היא בעלת כוח רב יותר מכל ההוכחות והשימושים שתמצא לה. ככל שההבנה בכוחה של התודעה תגבר, כך יהיה קל יותר להוכיח את ערכה ומציאותה.
      ובעצם הדבר היחיד שקיים באמת הוא הקדוש ברוך הוא, והתפקיד שלנו לדעת ולברר זאת ולחיות בתוך התודעה הזאת, כפי שמבואר בספר הזוהר: "כולא במחשבה אתברירו", הבירור כולו נעשה על ידי המחשבה. כל ההוכחות שמוכיחים למישהו אחר הן רק פועל יוצא מן הבירור היסודי הזה בעצמו. המחקר שלי הוא כולו עיסוק בנושא זה, למרות שהדברים לא כתובים במפורש במחקר.
      וככל שיתבררו לך בעצמך הדברים האלה כך תוכל להוכיח אותם לאחרים ביתר הצלחה.

      מעבר לכך, מודל פיתוח התוכנה שאני עוסק בו הוא דבר ממשי מאוד, ולדעתי המחקר מאיר אור חדש גם על נושא זה.
      אני לא אופתע אם יהיו עוד פיתוחים שימושיים למחקר זה, וכבר רמזתי בתוך דבריי שיש מקבילות לנושאים פיזיקליים, ויתכן שיתברר שיש בדברים אמת פיזיקלית ממשית. בסך הכל זה מחקר שמתנהל רק שנתיים על ידי אדם אחד לבד, ורק בראש שלי, ללא שימוש בכוח המיחשוב וכדומה.

      בברכה,
      אברהם

      • שלום רב!
        רציתי להעלות עוד מספר נקודות:

        א. אני מאחל לכם להצליח להוכיח את הקשר בין התודעה לגרביטציה. אמנם אם יתברר שזו האמת, יתברר גם שהאמת לפעמים כואבת. כי יתברר שאם חיים בתודעה של ניכור כמו שתיארתי, שכל אחד חושב בעיקר על טובת עצמו, גם הגרביטציה מגיבה בהתאם. ואם רוצים לשפר את מצב הגרביטציה, צריך לשנות גם את תפיסת העולם.

        ב. הביקורת של אלון הזכירה לי שלפני כחצי שנה כתבתי מאמר ובו קישרתי את המתמטיקה שלי לפיזיקה הקוונטית. המידע הפיזיקלי במאמר ההוא היה על פי מה שהבנתי מהרצאה של אלון שהזכירה את ניסוי שני הסדקים. כאשר שלחתי את המאמר לקבוצת הפייסבוק חפירות על פיזיקה, הם ירדו עלי קשות וטענו שאני לא מבין שום דבר בפיזיקה. מכיוון שבזה הם צודקים, העדפתי לנתק את המחקר שלי מפיזיקה ולעסוק רק במתמטיקה.
        לפניכם הקישור למאמר ההוא, שבו נסיתי לתת הסבר משלי לתופעת שני הסדקים. אם מישהו מהפיזיקאים חושב שהרעיונות שלו יכולים להועיל, הוא מוזמן להצטרף למחקר שלי. ואם לא, אנא תנו למחקר להבשיל מבחינה מתמטית ואחר כך כל האפשרויות פתוחות.

        בברכה,
        אברהם

        הקישור:
        https://www.dropbox.com/sh/rpuam686iddb5pz/AADS96-W7n0JmfVREQrxeATva?dl=0

  2. אברהם, אני מוצא את הפוסט שלך מרתק חדשני ובניגוד למה שעשוי להשתמע מן ההערה האחרונה של אלון גם פרקטי! חיבור כה יפה בין מתמטיקה לפילוסופיה עם השלכות מוסריות שיכולות להשפיע על החברה הוא פרקטי לא פחות ממשוואה חדשה בפיסיקה. מצאת דרך לחבר פילוסופיה מתמטית לפילוסופיה חברתית וזה נפלא!

    מעבר לכך, במרחבי השתקפויות שאלון הזכיר בתגובה הקודמת אני מגלה כי ניתן להסביר את היקום בצורה טובה הרבה יותר אם מניחים שהמרחב והזמן הם בדידים. המודל שאתה מציג כאן תואם את השקפת העולם הזו. התוכנות שאתה מפתח בתחום עשויות לקבל ביטוי פרקטי מאוד בעתיד כיישומים של מרחבי השתקפויות וזה רק מה שעולה במוחי עכשיו. אני חושב שעוד נופתע ונגלה יישומים רבים נוספים עם הזמן.

    אני מעודד אותך להמשיך ולפרסם את המחקר שלך. יש בהסטוריה המדעית אינספור דוגמאות של תיאוריות שהחלו כרעיונות בלבד, ללא יישום חומרי, והתגלו בהמשך ככלים פרקטיים לאין ערוך. שתי דוגמאות ידועות הן הגיאומטריה הלא-אוקלידית וטורי פוריה.

    אשמח שתמשיך לפרסם את המחקר שלך.

    כל טוב (-:

    • מתמטיקה בעברית זה כמתנות
      מדובר בשפה של כמויות.
      היקום בנוי "מדברים כמותיים"
      לכן, שפת היקום היא כמתנות.
      אין הרבה "דברים כמותיים" בעולם.
      מרחק, שטח, ונפח, מהתחום הגיאומטרי.
      זמן ( דינמי וסטטי) ואנרגיה ( דינמית וסטטית) מהתחום הפיזיקלי.

      כמות זה שם של ידיעה טבעית חשובה מאוד.

      א.עצבר

כתיבת תגובה